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数学综合考试大纲

(协作综合大学医学院/部和医科大学卫生统计学硕士研究生入学统一考试)
 
考试科目:
微积分、线性代数概率论与数理统计
 
微积分
 
一.函数、极限、连续
 
考试内容
函数的概念及表示法  函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性  复合函数、反函数、分段函数和隐函数  基本初等函数的性质及其图形  初等函数  函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质  函数的左极限和右极限  无穷小量和无穷大量的概念及其关系  无穷小量的性质及无穷小量的比较  极限的四则运算  极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则  两个重要极限:
 
函数连续的概念  函数间断点的类型  初等函数的连续性  闭区间上连续函数的性质
考试要求
1 理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系。
2 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
5 了解数列和函数极限(包括左极限与右极限)的概念。
6 掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握极限的性质及四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
7 理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限。
8 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
9 了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
 
二.一元函数微分学
 
考试内容
导数和微分的概念  导数的几何意义  函数的可导性与连续性之间的关系  平面曲线的切线和法线  导数和微分的四则运算  基本初等函数的导数  复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法  高阶导数  一阶微分形式的不变性  微分中值定理  洛必达法则  函数单调性的判别  函数的极值  函数图形的凹凸性、拐点及渐近线  函数图形的描绘  函数的最大值与最小值
考试要求
10 理解函数导数的概念及可导性与连续性之间的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程。
11 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。
12 了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。
13 了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。
14 理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格郎日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理得简单应用。
15 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
16 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
17 会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a,b)内,设函数f(x)具有二阶导数。当f ”(x)>0时,f(x)的图形是凹的;当f ”(x)<0时,f(x)的图形是凸的),会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。
18 会描绘简单函数的图形。
 
三.一元函数积分学
 
考试内容
原函数和不定积分的概念  不定积分的基本性质  基本积分公式  定积分的概念和基本性质  定积分中值定理  积分上限的函数及其导数  牛顿-莱布尼茨(Newton –Leibniz)公式   不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法  有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分  反常(广义)积分  定积分的应用
考试要求
19 理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握不定积分换元积分与分部积分法,理解不定积分和定积分的概念。
20 掌握定积分的概念和基本性质及定积分中值定理,理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式。
21 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值。
22 了解反常积分的概念,会计算反常积分。
 
四.多元函数微积分学
 
考试内容
多元函数的概念  二元函数的几何意义  二元函数的极限与连续的概念  有界闭区域上多元连续函数的性质  多元函数的偏导数和全微分  全微分存在的必要条件和充分条件  多元复合函数、隐函数的求导法 
二阶偏导数  全微分  多元函数的极值和条件极值、最大值、最小值  二重积分的概念 、基本性质与计算  无界区域上简单的反常二重积分
考试要求
23 理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。
24 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
25 理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性,掌握多元复合函数一阶,二阶偏导数的求法,会求多元隐函数的偏导数。
26 了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。
27 了解二重积分的概念和基本性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算。
五.常微分方程
 
考试内容
常微分方程的基本概念  变量可分离的微分方程  齐次微分方程  一阶线性微分方程
考试要求
28 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
29 掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法。
 
 
线性代数
 
一.行列式
 
考试内容
行列式的概念和基本性质  行列式按行(列)展开定理
考试要求
30 了解行列式的概念,掌握行列式的性质。
31 会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。
 
二.矩阵
 
考试内容
矩阵的概念  矩阵的线性运算  矩阵的乘法  方阵的幂  方阵乘积的行列式  矩阵的转置  逆矩阵的概念和性质  矩阵可逆的充分必要条件  伴随矩阵  矩阵的初等变换       初等矩阵  矩阵的秩  矩阵的等价  分块矩阵及其运算
考试要求
32 理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵、正交矩阵以及它们的性质。
33 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
34 理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵。
35 理解矩阵初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
36 了解分块矩阵及其运算。
 
三.向量
 
考试内容
向量的概念  向量的线性组合和线性表示  向量组的线性相关与线性无关  向量组的极大线性无关组  等价向量组  向量组的秩  向量组的秩与矩阵的秩之间的关系  向量的内积  线性无关向量组的正交规范化方法
考试要求
37 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。
38 理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
39 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩。
40 理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系。
41 了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。
 
四.线性方程组
 
考试内容
线性方程组的克莱姆(Cramer)法则  齐次线性方程组有非零解的充分必要条件  非齐次线性方程组有解的充分必要条件  线性方程组解的性质和解的结构  齐次线性方程组的基础解系和通解  解空间  非齐次线性方程组的通解
考试要求
42 会用克莱姆法则。
43 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
44 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。
45 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。
46 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。
 
五.矩阵的特征值和特征向量
 
考试内容
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质  相似变换、相似矩阵的概念及性质  矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵  实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
考试要求
47 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量。
48 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。
49 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。
 
六.二次型
 
考试内容
二次型及其矩阵表示  合同变换与合同矩阵  二次型的轶  惯性定理  二次型的标准形和规范形  用正交变换和配方法化二次型为标准形  二次型及其矩阵的正定性
考试要求
1.  掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型轶的概念,了解合同变换和合同矩阵的概念,了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。
2.  掌握用正交变换二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形。
3.  理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法。
 
 
概率论与数理统计
 
一、随机事件和概率
 
考试内容
随机事件与样本空间  事件的关系与运算  完备事件组  概率的概念  概率的基本性质  古典型概率  几何型概率  条件概率  概率的基本公式  事件的独立性  独立重复试验
考试要求
1.  了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算。
2.  理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式。
3.  理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法。
 
二、随机变量及其分布
 
考试内容
随机变量  随机变量分布函数的概念及其性质  离散型随机变量的概率分布  连续型随机变量的概率密度  常见随机变量的分布  随机变量函数的分布
考试要求
1.  理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率。F (x) = P{X ≤ x} (-∞ < x < +∞)
2.  理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布P( )及其应用。
3.  了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布。
4.  理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布U(a,b)、正态分布N(μ, σ2)、指数分布及其应用,其中参数为λ (λ > 0)的指数分布E( )的概率密度为
 
5.  会求随机变量函数的分布。
 
三、多维随机变量及其分布
 
考试内容
多维随机变量及其分布函数  二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布  二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度  随机变量的独立性和不相关性  常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布
考试要求
1.  理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质。
2.  理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度。
3.  理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件。
4.  掌握二维均匀分布,了解二维正态分布N( )的概率密度,理解其中参数的概率意义。
5.  会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布,会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布。
 
四、随机变量的数值特征
 
考试内容
随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质  随机变量函数的数学期望 切比雪夫不等式  矩、协方差、相关系数及其性质
考试要求
1.  理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征。
2.  会求随机变量函数的数学期望。
3.  掌握切比雪夫不等式
 
五、大数定律和中心极限定理
 
考试内容
切比雪夫(Chebyshev)大数定律  伯努利(Bernoulli)大数定律  辛钦(Khinchine)大数定律  棣莫弗—拉普拉斯(De Moivre—Laplace)定理  列维—林德伯格(Levy—Lindberg)定理
考试要求
1.  了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)
2.  了解棣莫弗—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维—林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理),并会用相关定理近似计算有关事件的概率
 
六、数理统计的基本概念
 
考试内容
总体  个体  简单随机样本  统计量  经验分布函数  样本均值  样本方差和样本矩    分布  t分布  F分布  分位数  正态总体的常用抽样分布
考试要求
1.  理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为
2.  了解 的分布、t分布和F分布的概念及性质,了解上侧 分位数的概念并会查表计算。
3.  了解正态总体的常用抽样分布:样本均值、样本方差及样本矩、样本均值差、样本方差比的抽样分布。
4.  理解经验分布函数的概念和性质,会根据样本值求经验分布函数
 
 
七、参数估计
 
考试内容
点估计的概念  估计量与估计值  矩估计法  最大似然估计法  估计量的评选标准  区间估计 单个正态的方差和标准差的区间估计  两个正态总体的均值差和方差比的区间估计
考试要求
1.  理解参数的点估计、估计量与估计值的概念,了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念,并会验证估计量的无偏性
2.  掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法。
3.  掌握建立未知参数的(单侧核双侧)置信区间的一般方法;掌握正态整体均值、方差、标准差、矩及与其相联系的数字特征的置信区间的求法
4.  掌握两个正态总体的均值差和方差及相关数字特征的置信区间的求法。
 
八、假设检验
 
考试内容
显著性检验  假设检验的两类错误  单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
考试要求
1.  理解“假设”的概念和基本类型,理解显著性检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,会构造简单假设的显著性检验。
2.  理解假设检验可能产生的两类错误,对于较简单的情形,会计算两类错误的概率。
3.  掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
 
 

试卷结构


一、总分
试卷满分为300分。
二、内容比例
微积分      约48%
线性代数   约22%
概率论与数理统计  约30%
三、题型比例
填空题与选择题     约37%
解答题(包括证明题)       约63%
 
 
指定参考书
 微积分
       高等数学(第五版),同济大学应用数学系,高等教育出版社
       数学分析(第三版),华东师范大学数学系,高等教育出版社

 线性代数

       高等代数(第三版),王萼芳 等(北京大学数学系),高等教育出版社
 
概率论与数理统计
       概率论基础(第二版),李贤平(复旦大学),高等教育出版社
       概率论与数理统计(第三版),盛骤 等(浙江大学),高等教育出版社